∠ 数学有迹 / 图形与几何 探索课 01

将军饮马 —— 寻找最短路径

从真实路线到几何证明，理解轴对称的作用

初中数学 · 轴对称应用
⌁

真实情境

从营地出发，到河边饮马，再前往目的地。

情境示意 · 河岸视为直线
01 / 观察情境

在哪里饮马，走的总路程最短？

A、B 在河岸同侧。请为将军选一个合适的饮马点 P。

关于这节课

把情境转化为数学模型

假设河岸是一条直线，A、B 位于同侧；只能在河岸上的一点 P 饮马。陆地上各方向均可通行，总路程为 AP + PB，不考虑速度、坡度与障碍物。

本例取 A = (0, 3)、B = (4, 3)，河岸为 y = 0，单位为 km。滑块展示 −1.5 ≤ x ≤ 5.5 的河岸片段，证明适用于整条直线。

场景为生成式教学插图，不按地图比例绘制。右侧几何图按同一比例绘制，所有长度由坐标实时计算，显示值四舍五入到小数点后两位；“最短”依据精确位置判断。

数学依据：轴对称的性质、三角形两边之和大于第三边、两点之间线段最短。24 秒是教学演示时间，并非实际行走时间。点击“验证猜想”后，马按当前 P 点试跑，到河岸停下饮水再前往 B；试跑使用教学速度，不能视为真实马速。试跑支持暂停和进度回拖，拖动 P 或切换步骤会结束当前试跑。

操作：拖动两幅图中的橙色 P 点，或使用滑块、方向按钮。空格播放 / 暂停，← → 调整演示进度。所有步骤均可直接点击。
检验一下你的理解

为什么这条路线最短？